%version junio 12 4:25 pm %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % PROGRAMA A COMPILAR %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Articulo enviado a la Revista Lecturas Matematicas de la SCM % Carta de Aprobacion Diciembre 5, 1994 % Saldra publicado en el primer numero de 1995 (Abril) % Carta firmada por Rodrigo de Castro (Dir. Enc.) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % INVOLUCION Y encaje DE % % METRICAS % % ARTEAGA % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \input amstex \input pictex \documentstyle{amsppt} %For a complete description of this macro program, see Tugboat, %Vol. 10, Number 1, April 1989, pp 82-88. %General Instructions: To use this package in your document, put the %command \input eqmacros at the top of your file. This command will %be sufficient if you want to label all equations and theorems in %sequential order throughout the entire paper. If you want to label %equations as (3.1), (3.2), etc. and similarly for theorems, include %the commands \chapno=3, \eqlabelno=0, and \figureno=0 at the %beginning of Section 3 of your paper. \eqlabelno sets the counter %for equation numbering while \figureno set the counter for theorem %numbering. To label a theorem which you would like to mnemonically %label mainthm, write Theorem \thmlbl{mainthm}. When Tex compiles %your file, \thmlbl{mainthm} will be replaced by the appropriate %number. To refer to this theorem in the text, write %\thmref{mainthm}. Use the commands \eqnlbl{maineqn} and %\eqnref{maineqn} analogously for equation displays. Use the command %\eqnalignlbl{maineqn} when you want a number displayed equation %while using \eqalign. If you want the labels you have used to appear %on the page, use the command \proofmodetrue at the top of your file. %For the final draft, use the command \proofmodefalse. %If you want to forward reference, put the following at the top of the %file and in order: % \input eqmacros % \proofmodetrue % \forwardreferencetrue % \initialeqmacro %See the end of this file for default configuration by Ziemer. %Macros \newif\ifproofmode % true =>wide right margin, eqn. \proofmodefalse % labels shown; date in headline \newif\ifforwardreference % true => allow reference to an \forwardreferencefalse % equation that appears later \newif\ifchapternumbers % true => equations labeled as e.g \chapternumbersfalse % (3.7) instead of (7) \newif\ifcontinuousnumbering % true => don't reset numbering of \continuousnumberingfalse % equations in each chapter \newif\iffigurechapternumbers % true => figures labeled as e.g. \figurechapternumbersfalse % (3.7) instead of (7) \newif\ifcontinuousfigurenumbering % true => don't reset numbering of \continuousfigurenumberingfalse % figures in each chapter \font\eqsixrm=CMR6 % given these odd names to avoid \font\eqtwelverm=CMR12 % possible conflict with a user. \def\marginstyle{\eqsixrm} % for proofmode labels \newtoks\chapletter % for appendices \newcount\chapno % chapter number \newcount\eqlabelno % equation #'s \newcount\figureno % figure numbers \chapno=0 \eqlabelno=0 \figureno=0 % This returns either a number or a letter depending on the sign % of \chapno. It uses the CURRENT value of \chapno. Typically used % only by other macros. The user may however, want to place the chapter % number (or letter) into the headline, then \chapfolio should be used. \def\chapfolio{\ifnum \chapno>0 \the\chapno \else \the\chapletter \fi} % This increments \chapno in the correct direction (more positive OR % more negative). If as is normal, there is NO continuous numbering % of equations and figures, those variables are reset. It is typically % used only by the other macros, not directly by the user. \def\bumpchapno{\ifnum \chapno>-1 \global \advance \chapno by 1 \else \global \advance \chapno by -1 \setletter\chapno \fi \ifcontinuousnumbering \else \global\eqlabelno=0 \fi \ifcontinuousfigurenumbering \else \global\figureno=0 \fi} % This is a very awkard way to turn a number into a letter, but some % difficulty with simpler methods occurs in the \write routines. % %\def\setletter#1{\ifcase-#1 {}\or{} \or\global\chapletter={A} %\or\global\chapletter={B} \or\global\chapletter\{C} \or\global\chapletter={D} %\or\global\chapletter={E} \or\global\chapletter={F} \or\global\chapletter={G} %\or\global\chapletter={H} \or\global\chapletter={I} \or\global\chapletter={J} %\or\global\chapletter={K} \or\global\chapletter={L} \or\global\chapletter={M} %\or\global\chapletter={N} \or\global\chapletter={O} \or\global\chapletter={P} %\or\global\chapletter={Q} \or\global\chapletter={R} \or\global\chapletter={S} %\or\global\chapletter={T} \or\global\chapletter={U} \or\global\chapletter={V} %\or\global\chapletter={W} \or\global\chapletter={X} \or\global\chapletter={Y} %\or\global\chapletter={Z}\fi} % And a non-global version of the above: % \def\tempsetletter#1{\ifcase-#1 {}\or{} \or\chapletter={A}\or\chapletter={B} \or\chapletter={C} \or\chapletter={D} \or\chapletter={E} \or\chapletter={F} \or\chapletter={G} \or\chapletter={H} \or\chapletter={I} \or\chapletter={J} \or\chapletter={K} \or\chapletter={L} \or\chapletter={M} \or\chapletter={N} \or\chapletter={O} \or\chapletter={P} \or\chapletter={Q} \or\chapletter={R} \or\chapletter={S} \or\chapletter={T} \or\chapletter={U} \or\chapletter={V} \or\chapletter={W} \or\chapletter={X} \or\chapletter={Y} \or\chapletter={Z}\fi} % A utility: it produces a number or a letter, depending on % the sign of the argument. Used by other macros for appendices. % (It is like \chapfolio, but need not refer to the current chapter.) % \def\chapshow#1{\ifnum #1>0 \relax #1% \else {\tempsetletter{\number#1}\chapno=#1 \chapfolio} \fi} % In proofmode, it is useful to put today's date on each output page. % \def\today{\number\day\space \ifcase\month\or Jan\or Feb\or Mar\or Apr\or May\or Jun\or Jul\or Aug\or Sep\or Oct\or Nov\or Dec\fi, \number\year} % The initialization procedure. Output registers 1 and 2 are used. % \def\initialeqmacro{\ifproofmode \headline{\tenrm \today\hfill \jobname\ --- draft\hfill\folio} \hoffset=-1cm \immediate\openout2=allcrossreferfile \fi \ifforwardreference \input labelfile \ifproofmode \immediate\openout1=labelfile \fi \fi} \def\initialeqmacros{\initialeqmacro} % either spelling % The following give various ways to place a number on a chapter (or section): % \def\chapnum{\bumpchapno \chapfolio} \def\chaplabel#1{\bumpchapno \ifproofmode \ifforwardreference \immediate\write1{\noexpand\expandafter\noexpand\def \noexpand\csname CHAPLABEL#1\endcsname{\the\chapno}}\fi\fi \global\expandafter\edef\csname CHAPLABEL#1\endcsname {\the\chapno}\ifproofmode\llap{\hbox{\marginstyle #1\ }}\fi\chapfolio} \def\chapref#1{\ifundefined{CHAPLABEL#1}??\ifproofmode\ifforwardreference \else \write16{ ***Undefined Chapter Reference #1*** }\fi \else \write16{ ***Undefined Chapter Reference #1*** }\fi \else \edef\LABxx{\getlabel{CHAPLABEL#1}}\chapshow\LABxx\fi \ifproofmode\write2{Chapter #1}\fi} % The following macros give various ways to place a number on an equation. % %The following automatically gives a number to an equation, but makes %no reference to it. \def\eqnum{\global\advance\eqlabelno by 1 \eqno(\ifchapternumbers\chapfolio.\fi\the\eqlabelno)} %The following is the same as \eqnum, but gives a reference to it. \def\eqlabel#1{\global\advance\eqlabelno by 1 \ifproofmode\ifforwardreference \immediate\write1{\noexpand\expandafter\noexpand\def \noexpand\csname EQLABEL#1\endcsname{\the\chapno.\the\eqlabelno?}}\fi\fi \global\expandafter\edef\csname EQLABEL#1\endcsname {\the\chapno.\the\eqlabelno?} \eqno(\ifchapternumbers\chapfolio.\fi \the\eqlabelno)\ifproofmode\rlap{\hbox{\marginstyle #1}}\fi} %The same as \eqlabel, but with numbers on the left-side. \def\leqlabel#1{\global\advance\eqlabelno by 1 \ifproofmode\ifforwardreference \immediate\write1{\noexpand\expandafter\noexpand\def \noexpand\csname EQLABEL#1\endcsname{\the\chapno.\the\eqlabelno?}}\fi\fi \global\expandafter\edef\csname EQLABEL#1\endcsname {\the\chapno.\the\eqlabelno?} \leqno(\ifchapternumbers\chapfolio.\fi \the\eqlabelno)\ifproofmode\rlap{\hbox{\marginstyle #1}}\fi} %The same as \eqnum but in the context of \eqaligno \def\eqalignnum{\global\advance\eqlabelno by 1 &(\ifchapternumbers\chapfolio.\fi\the\eqlabelno)} %The same as \eqlabel, but in the context of \eqaligno \def\eqalignlabel#1{\global\advance\eqlabelno by1 \ifproofmode \ifforwardreference\immediate\write1{\noexpand\expandafter\noexpand\def \noexpand\csname EQLABEL#1\endcsname {\the\chapno.\the\eqlabelno?}}\fi\fi \global\expandafter\edef\csname EQLABEL#1\endcsname {\the\chapno.\the\eqlabelno?}&(\ifchapternumbers\chapfolio.\fi \the\eqlabelno)\ifproofmode\rlap{\hbox{\marginstyle #1}}\fi} %This enables a ference to a labeled equation. \def\eqref#1{(\ifundefined{EQLABEL#1}***\ifproofmode\ifforwardreference)% \else \write16{ ***Undefined Equation Reference #1*** }\fi \else \write16{ ***Undefined Equation Reference #1*** }\fi \else \edef\LABxx{\getlabel{EQLABEL#1}}% \def\LAByy{\expandafter\stripchap\LABxx}\ifchapternumbers \chapshow{\LAByy}.\expandafter\stripeq\LABxx \else\ifnum \number\LAByy=\chapno \relax\expandafter\stripeq\LABxx \else\chapshow{\LAByy}.\expandafter\stripeq\LABxx\fi\fi)\fi \ifproofmode\write2{Equation #1}\fi} % The following are analogous to \eqnum etc. They will automatically % generate figure numbers and in the second case accept your % label for later reference. % \def\fignum{\global\advance\figureno by 1 \relax \iffigurechapternumbers\chapfolio.\fi\the\figureno}\ \def\figlabel#1{\global\advance\figureno by 1\relax \ifproofmode\ifforwardreference \immediate\write1{\noexpand\expandafter\noexpand\def \noexpand\csname FIGLABEL#1\endcsname{\the\chapno.\the\figureno?}}\fi\fi \global\expandafter\edef\csname FIGLABEL#1\endcsname {\the\chapno.\the\figureno?}\iffigurechapternumbers\chapfolio.\fi \ifproofmode$^{\hbox{\marginstyle #1}}$\relax\fi\the\figureno} \def\figref#1{\ifundefined{FIGLABEL#1}!!!!\ifproofmode\ifforwardreference)% \else \write16{ ***Undefined Equation Reference #1*** }\fi \else \write16{ ***Undefined Equation Reference #1*** }\fi \else \edef\LABxx{\getlabel{FIGLABEL#1}}% \def\LAByy{\expandafter\stripchap\LABxx}% \iffigurechapternumbers\chapshow{\LAByy}.\expandafter\stripeq\LABxx \else\ifnum\number\LAByy=\chapno \relax\expandafter\stripeq\LABxx \else\chapshow{\LAByy}.\expandafter\stripeq\LABxx\fi\fi \ifproofmode\write2{Figure #1}\fi\fi} \def\eq{Eq.\9Z\1} \def\eqs{Eqs.\9Z\1} \def\fig{Figure\9Z\1} \def\figs{Figures\9Z\1} % TYPICAL macros to place headers on chapters or sections: % Form to use is: \...head{label}{Title} % \def\centerhead#1#2{\vskip10pt\centerline{\chaplabel{#1}. #2}\vskip10pt} \def\lefthead#1#2{{\bf \noindent \chaplabel{#1}. #2\hfil\break}} \def\bighead#1#2{\vskip10pt% \centerline{{\eqtwelverm \chaplabel{#1}. #2}}\vskip10pt)} %Utilities for use by other macros % \def\getlabel#1{\csname#1\endcsname} \def\ifundefined#1{\expandafter\ifx\csname#1\endcsname\relax} \def\stripchap#1.#2?{#1} \def\stripeq#1.#2?{#2} %Configuration by Ziemer: %I have set continuous numbering of equations and theorems,so they appear as %(3.2) instead of (2). \figurechapternumberstrue \chapternumberstrue \def\thmlbl#1{\figlabel{#1}} \def\thmref{\figref} \def\eqnlbl#1{\leqlabel{#1}} \def\eqnalignlbl#1{\eqalignlabel{#1}} \def\eqnref#1{\eqref{#1}} \chapternumbersfalse \proofmodefalse \forwardreferencetrue %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\input fecha %\magnification=1200 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % DEFINICIONES % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \define\dpar #1#2{\frac{\partial #1}{\partial x^{#2}}} \define\lamber #1{\frac{\partial^2 #1}{\partial x^{2}_{1}} + \frac{\partial^2 #1}{\partial x^{2}_{2}} + \frac{\partial^2 #1}{\partial x^{2}_{3}} - \frac{\partial^2 #1}{\partial x^{2}_{4}}} \UseAMSsymbols \define\sen{\text{sen\,}} \define\senh{\text{senh\,}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % FUENTES % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\parindent=10pt %\hfuzz1pc % to suppress reporting of overfull boxes. %\aboveheadskip=3\bigskipamount %\belowheadskip=\medskipamount %\subheadskip=\bigskipamount \fontdimen3\tenrm=2.0pt \font\oldnos=cmmi10 \font\tenbfit=cmbxti10 \font\ss=cmss10 \let\bfit=\tenbfit %\addto\tenpoint{\abovedisplayskip=6pt plus2pt minus3pt %\belowdisplayskip=\abovedisplayskip} \font\rcin=cmr10 scaled \magstep5 \font\bit=cmbxti10 \font\bfdos=cmbx10 scaled \magstep2 \font\bftres=cmbx10 scaled \magstep3 \font\bfcuat=cmbx10 scaled \magstep4 \font\itdos=cmti10 scaled \magstep2 \font\titres=cmti10 scaled \magstep3 \font\itcuat=cmti10 scaled \magstep4 \font\itg=cmti10 scaled \magstep1 \font\rcin=cmr10 scaled \magstep5 \font\bit=cmbxti10 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % TOPMATTER % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \pageno13 \rightline{This is a reprint of the paper} \rightline{\it Sobre la involuci\'on} \rightline{\it y el encaje de m\'etricas} \rightline{by {\smc Jos\'e R. Arteaga}} \rightline{published in {\bf Lecturas Matem\'aticas}} \rightline{{\bf 16}\ (1995), pp. 13--35} \rightline{\vrule width 6.0cm height 1pt} \ \vskip2.5cm \topmatter \title{Sobre la involuci\'on y el encaje \\ de m\'etricas*} \endtitle \author Jos\'e R. Arteaga \endauthor \rightheadtext{Sobre la involuci\'on y el encaje de m\'etricas} \leftheadtext{Jos\'e R. Arteaga} \affil Universidad de Los Andes, Bogot\'a \endaffil \address \rightline{ } \rightline{Jos\'e R. Arteaga} \rightline{Departamento de Matem\'aticas} \rightline{Universidad de Los Andes} \rightline{Santaf\'e de Bogot\'a, COLOMBIA} \rightline{{\it e-mail:\/} {\rm jarteaga\@cdcnet.uniandes.edu.co}} \endaddress %\email jarteaga\@cdcnet.uniandes.edu.co \endemail \thanks * Trabajo realizado dentro del proyecto ``Estudios Te\'oricos en Geometr\'\i a Riemanniana, Espacios Conformes y Aproximaci\'on de Espacios'', patrocinado conjuntamente por COLCIENCIAS y la Universidad de los Andes mediante contrato N0. CO-1204-05-044-90 \endthanks \abstract Three basic things are considered in this paper. The first is to show that an intrinsic property of trees can be used to define the Vilinkin polyspherical coordinates. The second is to state, by means of these conditions, the embedding problem of Riemann spaces as a Pfaffian system of linear differential equations with algebraic conditions on the coefficients. As the third, we present the Kuziev embedding from the above point of view of the Kerr gravitational field in $\Bbb R^9$. \smallskip \noindent {\it Key Words and Phrases}. Trees, graphs, polyspherical coordinates, Riemann metrics and spaces, immersions and embeddigs, Kerr and Schwarzschild metrics, Pfaffian systems. \smallskip \noindent {\it 1991 Mathematics Subject Clasification.} Primary 53C42, 53C21. Secundary 53C80. \smallskip \noindent {\smc Resumen}. En este art\'\i culo se consideran b\'asicamente tres cosas. La primera, es presentar una propiedad intr\'\i nseca de los \'arboles que puede utilizarse para definir las coordenadas poliesf\'ericas de Vilinkin. La segunda es plantear, utilizando este tipo de coordenadas, el problema del encaje de espacios de Riemann como un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de Pfaff con condiciones algebraicas sobre los coeficientes. Por \'ultimo se presenta, seg\'un este punto de vista, el encaje logrado por Kuziev del campo gravitacional de Kerr en $\Bbb R^9$. \endabstract \endtopmatter \document %\underbar{Key Words and Phrases}. Arboles, grafos, coordenadas %poliesf\'ericas, m\'etricas y espacios de Riemann, inmersiones y encaje, %m\'etricas de Kerr y Schwarzschild, sistemas de Pfaff. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Las coordenadas Poliesfericas %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\vskip0.7cm %\head %Introducci\'on %\endhead %Es necesario hacer una introducci\'on. \head 1. Arboles en $\Bbb R^n$ \endhead \flushpar En $\Bbb R^n$, el espacio euclidiano $n$-dimensional, consideremos un \'arbol con $n$ v\'ertices. Describiremos su grafo con las ramas creciendo de arriba hacia abajo. Diremos que el v\'ertice de la ra\'\i z es de nivel cero, que los v\'ertices inmediatamente unidos a la ra\'\i z son de nivel uno, que los v\'ertices imediatamente unidos a los de nivel uno son de nivel dos, y as\'\i \, sucesivamente. Los v\'ertices de nivel $k$ ser\'an entonces los v\'ertices que est\'an unidos por encima a los v\'ertices de nivel $(k-1)$. \smallskip Denotaremos con $x_{0i_1i_2...i_k}$ a un v\'ertice en el nivel $k$. La numeraci\'on de los v\'ertices se har\'a de la siguiente manera: cada v\'ertice llevar\'a informaci\'on de todos los v\'ertices de niveles anteriores a los cuales est\'a unido y del orden dentro de su propio nivel. El orden en cada nivel se establecer\'a para cada rama de izquierda a derecha. Que un v\'ertice es el $x_{0i_1,i_2...i_k}$ significar\'a entonces que pertenece al nivel k-\'esimo, que est\'a unido con la ra\'\i z a trav\'es de los v\'ertices $x_{0i_1}$ del primer nivel, $x_{0i_1i_2}$ del segundo nivel, y as\'\i \, sucesivamente, con $x_{0i_1i_2...i_{k-1}}$ del $(k-1)$-\'esimo nivel. Por ejemplo, $x_{02351}$ es un v\'ertice del cuarto nivel, pues despu\'es del cero hay cuatro n\'umeros. El v\'ertice $x_{02351}$ se encontrar\'a entonces unido con $x_{0235}$ del tercer nivel, \'este, a su vez, con $x_{023}$ del segundo nivel, el cual est\'a unido con $x_{02}$ del primer nivel y, este \'ultimo, con la ra\'\i z $x_{0}$. Por lo tanto, para ir por el \'arbol desde el v\'ertice $x_{02351}$ hasta la ra\'\i z $x_{0}$ hay que pasar por los v\'ertices $x_{0235}$ del tercer nivel, $x_{023}$ del segundo nivel y $x_{02}$ del primer nivel. \smallskip Si un v\'ertice $x_{0i_1...i_k}$ del nivel $k$-\'esimo est\'a unido con un v\'ertice del nivel $(k-1)$, $x_{0i_1...i_{k-1}}$, diremos que $x_{0i_1...i_{k-1}}$ es el {\it padre} de $x_{0i_1...i_k}$ y que $x_{0i_1...i_k}$ es {\it hijo} de $x_{0i_1...i_{k-1}}$. Si dos v\'ertices tienen el mismo padre, diremos que son {\it hermanos}. Si $x_{0i_1...i_{s-1} i_s}$ y $x_{0i_1 ... i_{s-1} i'_s}$ son hermanos e $i_s > i'_s$, diremos que el primer v\'ertice es un v\'ertice {\it hermano mayor} del segundo. Al padre, al {\it abuelo (padre del padre)}, al {\it bisabuelo}, etc., de un v\'ertice, los llamaremos {\it antecesores} de \'este. A su vez, se dir\'a que un v\'ertice es descendiente de su padre, de su abuelo, etc. \smallskip Consideremos el siguiente \'arbol de $7$ v\'ertices en $\Bbb R^7$: $$ x_{0}, x_{01}, x_{02}, x_{03}, x_{011}, x_{012}, x_{021}. \eqlabel{1} $$ Este \'arbol est\'a descrito nombrando los v\'ertices de arriba a abajo y de izquierda a derecha. Establezcamos cierto orden para describirlo como una lista que llamaremos {\it lista ordenada.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vskip0.7cm \head 2. Escritura de un \'arbol como una lista ordenada y coordenadas poliesf\'ericas \endhead \noindent Describiremos un \'arbol mediante una lista ordenada de izquierda a derecha, escribiendo primero los v\'ertices y luego los antecesores; es decir, en un \'arbol de $k$ niveles, escribiremos primero los v\'ertices del nivel $k$, luego los del nivel $(k-1)$, y as\'\i \, sucesivamente. En cada nivel escribiremos primero los ``hijos menores'' de un mismo padre. Por ejemplo, el \'arbol \eqref{1} se escribir\'a $$ x_{011}, x_{012}, x_{021}, x_{01}, x_{02}, x_{03}, x_{0} \eqlabel{2} $$ as\'\i \, que los v\'ertices $x_{011}, x_{012}$ tienen como antecesores a su padre $x_{01}$ y a la ra\'\i z $x_0$. N\'otese que se escriben primero todos los del segundo nivel luego todos los del primer nivel y por \'ultimo la ra\'\i z ({\it Figura 1}). $$\beginpicture \setcoordinatesystem units <0.5cm, 0.5cm> \setplotarea x from -8 to 8, y from -7 to 4 \put {$x_0$} at -1 4 \put {$\phi_1$} at -3 2 \put {$\phi_3$} at 3 2 \put {$\phi_2$} at 1 2 \put {$x_{01}$} at -5 0 \put {$x_{02}$} at -1 0 \put {$x_{03}$} at 3 0 \put {$\phi_{11}$} at -6 -2 \put {$\phi_{12}$} at -2 -2 \put {$\phi_{21}$} at 2 -2 \put {$x_{011}$} at -7 -4 \put {$x_{012}$} at -3 -4 \put {$x_{021}$} at 1 -4 \put {\it Figura 1} at 0 -6 \setlinear \plot 0 4 -4 0 -6 -4 / \setlinear \plot -4 0 -2 -4 / \setlinear \plot 0 4 0 0 2 -4 / \setlinear \plot 0 4 4 0 / \endpicture$$ En $\Bbb R^n$ podemos considerar que las coordenadas cartesianas de un punto est\'an siempre asociadas al orden de un \'arbol prefijado. Por ejemplo, en el espacio $\Bbb R^7$ podemos asociar las coordenadas cartesianas al orden del \'arbol \eqref{2}, de tal manera que $x^1$ corresponde a $x_{011}, x^2$ a $x_{012}$, etc. Escribiremos, por abuso de notaci\'on, $x^1 = x_{011}, x^2 = x_{012}$, etc., de tal manera que a la ra\'\i z $x_{0}$ le corresponde la \'ultima coordenada: $x^7 = x_0$. \smallskip A cada arista (segmento de recta que une dos v\'ertices del \'arbol) le haremos ahora corresponder un \'angulo $\varphi$, sujeto a los dominios que especificaremos posteriormente, de la siguiente manera: a la arista que une $x_{0i_1i_2...i_s}$ con $x_{0i_1i_2...i_si_{s+1}}$, le hacemos correspoder el \'angulo $\varphi_{i_1i_2...i_{s+1}}$, que es el \'angulo entre los vectores $(0, x_{0i_1 ... i_s})$ y $(0, x_{0i_1 ... i_{s+1}})$ en el plano generado por el origen y los v\'ertices $(x_{0i_1 ... i_s})$ y $(x_{0i_1 ... i_{s+1}})$. As\'\i \, en el ejemplo \eqref{2}, $x_0$ est\'a unido con $x_{02}$ mediante la arista cuyo \'angulo es $\varphi_{2}$; el v\'ertice $x_{02}$ est\'a unido mediante la arista de \'angulo $\varphi_{21}$ al v\'ertice $x_{021}$, etc. Es claro que estos \'angulos quedan bien determinados por el v\'ertice de mayor nivel de los dos que une. El \'angulo que acabamos de introducir es el denominado {\it \'angulo de rotaci\'on}. La transformaci\'on de rotaci\'on correspondiente la definiremos como sigue: si $x_{0i_1i_2...i_m}$ es un v\'ertice no extremal de un \'arbol ordenado, haremos corresponder a este v\'ertice la rotaci\'on $g(\varphi)$ en el \'angulo $\varphi = \varphi_{i_1i_2...i_m}$ del plano definido por el origen de coordenadas y los v\'ertices $(x_{0i_1i_2...i_{m-1}})$ y $(x_{0i_1,i_2...i_m})$; es decir, $$ g(\varphi) \cases x'_{i} = x_i \cos \varphi - x_j \sen \varphi \\ x'_{j} = x_i \sen \varphi + x_j \cos \varphi , \endcases $$ donde $x_i = x_{0i_1i_2...i_{m-1}}$ y $x_j = x_{0i_1i_2...i_m}$ est\'an en un sistema ortonormal de coordenadas del plano ordenado de acuerdo con el \'arbol. Supongamos que en $\Bbb R^n$ se ha escogido un sistema ortonormal de coordenadas $(x^{i})$. En este sistema el elemento lineal tiene la forma $$ ds^2 = (dx^1)^2 + (dx^2)^2 + \cdots + (dx^n)^2. \eqlabel{el} %3 $$ Supongamos que a tal sistema se le ha dado el orden de un \'arbol y consideremos las transformaciones de rotaci\'on de \'este. Sea $X_0$ un punto de la esfera unitaria $S^{n-1}$ en $\Bbb R^n$. Entonces, cualquier otro punto $X$ sobre la esfera $S^{n-1}$ se puede obtener por medio de la composici\'on de todas las transformaciones de rotaci\'on aplicadas, en su orden, a $X_0$. Es decir, que $$ X = \prod {g(\varphi_{i_1i_2...i_m})} X_0\, , $$ donde $\varphi_{i_1...i_m}$ son los \'angulos de rotaci\'on del \'arbol que ordena las coordenadas de $x$ seg\'un la anterior descripci\'on. As\'\i \, para el ejemplo \eqref{2}, todo $X \in S^6$ puede escribirse en la forma $$ X = g(\varphi_{11}) g(\varphi_{12}) g(\varphi_{21}) g(\varphi_{1}) g(\varphi_{1}) g(\varphi_{2}) g(\varphi_{3}) X_0. $$ Es claro que si consideramos los \'angulos de rotaci\'on y otra variable, como el radio de una esfera centrada en el origen de coordenadas, por ejemplo, lo que obtenemos, en adici\'on al sistema ortogonal cartesiano, es un nuevo sistema de coordenadas, formado por los $n-1$ \'angulos de rotaci\'on y por el radio vector o distancia al origen del sistema. A este segundo sistema lo llamaremos un {\it sistema de coordenadas poliesf\'erico}. La relaci\'on entre las coordenadas cartesianas $x_{0i_1i_2...i_s}$ y los \'angulos de rotaci\'on de las coordenadas poliesf\'ericas viene dada por: $$ x_{0j_1j_2...j_s} = \prod\limits_{P_{j_1j_2...j_s}\bigcup R_{j_1j_2...j_s}} {\cos \varphi _{j_1j_2...j_m}} \prod\limits_{S_{j_1j_2...j_s}\bigcup x_{0j_1j_2...j_s}} {\sen \varphi _{j_1j_2...j_l}}, \eqlabel{formula} %4 $$ donde $P_{j_1...j_s}$ es el conjunto de los \'angulos asociados a los v\'ertices {\it ``hijos''} de $x_{0j_1...j_s}$, $R_{j_1...j_s}$ es el de los \'angulos asociados tanto a los v\'ertices ``hermanos mayores" de $x_{0j_1...j_s}$ como a los de los hermanos mayores de sus antecesores, y $S_{j_1...j_s}$ es el de los \'angulos asociados a los antecesores que est\'an sobre la misma rama que $x_{0i_1...i_s}$ hasta llegar a la ra\'\i z. \smallskip Si hacemos el cambio de notaci\'on $x^i =x_{0i_1...i_s}$, seg\'un la forma de ordenamiento arriba mencionada, y utilizamos la f\'ormula \eqref{formula}, obtenemos que $$ \sum_{i=1}^{i=n}(x^{i})^2 = 1. \eqlabel{5} %5 $$ Lo anterior lo podemos interpretar geom\'etricamente de la siguiente manera: si tenemos un punto $X$ sobre la esfera $X \in S^{n-1}$, entonces cada \'arbol de $n$ v\'ertices define un sistema de coordenadas poliesf\'ericas $(1,\varphi_1, \varphi_2, ... \varphi_{n-1})$ de $X$, donde los \'angulos $\varphi_s = \varphi_{i_1...i_s}$ son los \'angulos de rotaci\'on del \'arbol. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \example{Ejemplo 1} En $\Bbb R^3$ podemos formar esencialmente solo dos \'arboles que son $$ z = x_{0}, \qquad y = x_{01}, \qquad x = x_{011} \eqlabel{6} %6 $$ y $$ z = x_{0}, \qquad x = x_{01}, \qquad y = x_{02}. \eqlabel{7} %7 $$ Para el caso \eqref{6}, tenemos que un punto cualquiera sobre la esfera $S^2$ con coordenadas cartesianas $(x, y, z)$ tiene coordenadas poliesf\'ericas $(1, \varphi_1, \varphi_2)$ que est\'an relacionadas con $(x, y, z)$, seg\'un \eqref{formula}, en la forma $$ \align &z = \cos\varphi_1 \\ &y = \cos\varphi_2 \sen\varphi_1 \tag 8 \\ &x = \sen\varphi_2 \sen\varphi_1, \endalign $$ \endexample \flushpar donde $\varphi_2 = \varphi_{11}$, seg\'un las notaciones establecidas anteriormente. Estas coordenadas $(8)$ son usualmente conocidas como las coordenadas esf\'ericas de $\Bbb R^3$, as\'\i \, que las coordenadas poliesf\'ericas son una generalizaci\'on de las coordenadas esf\'ericas. \flushpar Para el segundo \'arbol \eqref{7}, tenemos $$ \align &z = \cos\varphi_1 \cos\varphi_2 \\ &y = \sen \varphi_2 \tag 9\\ &x = \sen\varphi_1 \cos\varphi_2 \endalign $$ Estas ya no son coordenadas esf\'ericas. Son otro tipo de coordenadas po\-li\-es\-f\'e\-ri\-cas, que corresponden al \'arbol \eqref{7}. Una diferencia entre estos dos tipos de coordenadas es que el primero preserva la orientaci\'on del espacio mientras que el segundo la invierte. Para verificar esto basta observar que pasa con la normal exterior sobre la esfera. \example{Ejemplo 2} En $\Bbb R^7$, las cartesianas $(x^1, ...,x^7)$ y las coordenadas poliesf\'ericas seg\'un el \'arbol \eqref{2} est\'an relacionadas por $$ \align x^7 &= x_{0} = r \cos\varphi_{3}\cos\varphi_{2}\cos\varphi_{1} \\ x^6 &= x_{03} = r \sen\varphi_{3} \\ x^5 &= x_{02} = r \cos\varphi_{3}\sen\varphi_{2}\cos\varphi_{21}\\ x^4 &= x_{01} = r \cos\varphi_{3}\cos\varphi_{2}\sen\varphi_{1} \cos\varphi_{12}\cos\varphi_{11} \\ x^3 &= x_{021} = r \cos\varphi_{3}\sen\varphi_{2}\sen\varphi_{21} \\ x^2 &= x_{012} = r \cos\varphi_{3}\cos\varphi_{2}\sen\varphi_{1}\sen \varphi_{12}\\ x^1 &= x_{011} = r \cos\varphi_{3}\cos\varphi_{2}\sen\varphi_{1} \cos\varphi_{12}\sen\varphi_{11}\, ,\\ \endalign $$ No es dif\'\i cil comprobar que $\sum_{i=1}^{7} (x^{i})^2 = r^2$. \endexample %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vskip0.7cm \head 3. Dominio de los \'angulos de rotaci\'on \endhead \flushpar Sea $p_{i_1...i_s}$ el n\'umero de ``hermanos menores'' de $x_{0i_1...i_s}$ y $q_{i_1...i_s}$, el n\'umero de sus ``hijos". Las condiciones para establecer el dominio de los \'angulos de rotaci\'on en un \'arbol son las siguientes: \roster \item Si $p_{i_1...i_s} = 0 $ y $q_{i_1...i_s} = 0 $, entonces $0 \le \varphi_{i_1...i_s} < 2 \pi.$ \item Si $p_{i_1...i_s} = 0 $ y $q_{i_1...i_s} \ne 0 $, entonces $0 \le \varphi_{i_1...i_s} < \pi.$ \item Si $p_{i_1...i_s} \ne 0 $ y $q_{i_1...i_s} = 0 $, entonces $-\pi /2 \le \varphi_{i_1...i_s} < \pi /2.$ \item Si $p_{i_1...i_s} \ne 0 $ y $q_{i_1...i_s} \ne 0 $, entonces $0 \le \varphi_{i_1...i_s} < \pi /2.$ \endroster En el ejemplo 1 tenemos para las coordenadas del primer \'arbol \eqref{6} (esf\'ericas), que $$ 0 \le \varphi_1 < \pi, \hskip1cm 0 \le \varphi_2 < 2 \pi $$ y para las coordenadas del segundo \'arbol \eqref{7}, que $$ -\pi /2 \le \varphi_1 < \pi /2, \hskip 1cm 0 \le \varphi_2 < 2 \pi. $$ \flushpar En el ejemplo 2, tenemos que $$ \alignat 2 \ 0 \le & \; \varphi_1 < \pi; \qquad \qquad & \ 0 \le & \; \varphi_2 < \pi; \\ \ - \pi/2 \le & \; \varphi_3 < \pi /2 ; & \ 0 \le & \; \varphi_{11} < 2 \pi; \\ \ - \pi /2 \le & \; \varphi_{12} < \pi /2; & \ - \pi /2 \le & \; \varphi_{21} < \pi /2. \endalignat $$ En general, en $\Bbb R^n$, la suma de las longitudes de todos los dominios de los \'angulos de rotaci\'on es igual a $n \pi$. Esto se debe a que esta suma es independiente de los \'angulos de rotaci\'on que se tomen sobre la esfera $S^{n-1}$, y es f\'acil verificar que para las coordenadas esf\'ericas, un caso particular de coordenadas poliesf\'ericas, esta suma es igual a $3 \pi$. El \'arbol asociado al cambio de coordenadas de cartesianas a esf\'ericas en $\Bbb R^n$ es siempre un \'arbol de una sola rama y $(n-1)$ niveles. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vskip0.7cm \head 4. Coordenadas poli-pseudoesf\'ericas en espacios pseudoeuclideos \endhead \noindent Sea $^{k}\Bbb R^n = E_{n-k, k}$ el espacio euclidiano de dimensi\'on $n$ dotado de una forma cuadr\'atica con signatura $(+,+,...(n-k)...+,+,-,-,...(k)...,-,-)$. Dado un \'arbol, se establece primero el orden de numeraci\'on, tal como en las secciones anteriores. Luego, a un sistema de coordenadas cartesianas $x^i$ se da el orden de los v\'ertices del \'arbol. Recu\'erdese aqu\'\i \, que a la ra\'\i z $x_{0}$ le corresponde la coordenada $x^n$ y al primer v\'ertice a la izquierda de nivel m\'aximo le corresponde $x^1$ (Esta escogencia es arbitraria, puede tomarse otra). \smallskip Luego se da un signo $(+)$ o $(-)$ a la coordenada $x^i$ seg\'un que en la forma cuadr\'atica dada, al t\'ermino cuadr\'atico $(x^i)^2$ le corresponda $(+)$ o $(-)$ en la f\'ormula para el cuadrado de la longitud de un vector. \smallskip Una vez establecido qu\'e signo colocar a cada v\'ertice del \'arbol se debe tener en cuenta la siguiente regla para aplicar el m\'etodo de hallar la expresi\'on de las coordenadas cartesianas en t\'erminos de las coordenadas poliesf\'ericas: si el \'angulo $\varphi_{i_1...i_s}$ corresponde a dos v\'ertices del mismo signo $x_{0i_1...i_{i-1}}$ y $x_{0i_1...i_s}$, entonces, en la f\'ormula \eqref{formula} se colocan, como antes, cosenos y senos seg\'un el caso; pero, si el \'angulo $\varphi_{i_1...i_s}$ corresponde a dos v\'ertices de signo contrario $x_{0i_1...i_{i-1}}$ y $x_{0i_1...i_s}$, entonces, en la f\'ormula \eqref{formula} se colocar\'an senos y cosenos hiperb\'olicos en lugar de senos y cosenos circulares. \smallskip La regla de la suma de los \'angulos no ser\'a ahora v\'alida. \example{Ejemplo 3} Sea $^1\Bbb R^n$ el espacio pseudoeuclideo en el cual el producto interno es $[x, y] = x^1 y^1 + \cdots + x^{n-1} y^{n-1} - x^n y^n$ (forma bilineal) y la distancia entre $x$ y $y$ esta dada por $r^2(x, y) = [x - y, x - y]$. Consideremos un \'arbol de una sola rama y $(n-1)$ niveles y sea $\Omega_n = \{ x \mid [x, x] > 0, x^n > 0\}$. Las coordenadas cartesianas y pseudoesf\'ericas sobre $\Omega_n$ est\'an entonces relacionadas por $$ \align x^1 &= r \senh\varphi_{n-1} \sen\varphi_{n-2}...\sen\varphi_{2}\sen\varphi_{1} \\ x^2 &= r \senh\varphi_{n-1} \sen\varphi_{n-2}...\sen\varphi_{2}\cos\varphi_{1} \\ ...&...\\ x^{n-1} &= r \senh\varphi_{n-1} \cos\varphi_{n-2} \\ x^n &= r \cosh\varphi_{n-1}, \endalign $$ donde $r^2 = [x, x]$, $0 \le r < \infty$, $0 \le \varphi_{1} < 2 \pi$, $0 \le \varphi_{k} < \pi$, $0 \le \varphi_{n-1} < \infty$ para $1 < k < n-1$. \endexample %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vskip0.7cm \head 5. El Elemento lineal en coordenadas poliesf\'ericas \endhead \flushpar Utilizaremos la regla dada en la secci\'on 2 para describir un \'arbol como una lista ordenada. De la misma manera, escribiremos como una lista ordenada los \'angulos de rotaci\'on. Sea $\varphi_{i_1...i_s}$ el \'ultimo \'angulo en esta lista. El elemento lineal \eqref{el} del espacio euclidiano $\Bbb R^n$ en coordenadas poliesf\'ericas est\'a dado por $$ ds^2 = d\varphi^2_{i_1...i_s} + \sen^2\varphi_{i_1...i_s}(*) + \cos^2\varphi_{i_1...i_s}(**) \eqlabel{10} %10 $$ donde $(*)$ y $(**)$ se establecer\'an de la siguiente manera: \roster \item Si la coordenada $x_{0i_1...i_s}$ tiene hijos, hay que colocar toda la expresi\'on \eqref{10} en el lugar de $(*)$ para la coordenada $x_{0i_1...i_{s+1}}$, comenzando por el hijo mayor. \item Si $x_{0i_1...i_{s}}$ tiene hermanos menores, $(**)$ se remplaza por \eqref{10} para la coordenada del hermano inmediatamente anterior a $x_{0i_1...i_{s-1}}$. \item En caso de que $x_{0i_1...i_s}$ no tenga hermanos menores o hijos, se coloca {\it cero} en el lugar correspondiente a $(*)$ o a $(**)$. \item Las operaciones (1) a (3) anteriores se repetir\'an tantas veces como sea necesario para llegar al primer \'angulo en la lista. \endroster \flushpar Por ejemplo, para el espacio euclideo $\Bbb R^7$ con coordenadas poliesf\'ericas que responden al \'arbol \eqref{2}, tenemos $$\align ds^2 = d\varphi_{3}^{2} &+ \cos^2\varphi_3\{d\varphi_2^2 + \sen^2\varphi_2 d\varphi_{21}^2 \\ & \\ &+ \cos^2\varphi_2 [d\varphi_1^2 + \sen^2\varphi_1(d\varphi_{12}^2 + \cos^2\varphi_{12} d\varphi_{11}^2 )]\}. \endalign $$ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Teoria de Involucion %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vskip0.7cm \head 6. Inmersi\'on y encaje de variedades \endhead \flushpar A no ser que se especifique lo contrario, consideraremos solo variedades $C^\infty$ y aplicaciones $C^\infty$ (suaves) entre ellas. Sean $M$ y $N$ variedades y $f:M \to N$ una aplicaci\'on suave. Con $T(M)$ y $T(N)$ designaremos los correspondientes fibrados tangentes. La aplicaci\'on $f$ induce un homomorfismo $df:T(M) \to T(N)$ entre los fibrados. Se dice que $f$ es una {\it inmersi\'on} si $df$ es un monomorfismo, y un {\it encaje}, si adem\'as de ser una inmersi\'on es una aplicaci\'on $1-1$. \flushpar En general existen dos problemas: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%% \proclaim{Problema de Clasificaci\'on} Dadas dos variedades $M$ y $N$, clasificar las inmersiones y los (encajes), m\'odulo las homotop\'\i as de $M$ y $N$. \endproclaim %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%% \proclaim{Problema de Existencia} Dadas dos variedades $M$ y $N$, determinar si existe una inmersi\'on (escribiremos $M \subseteq N$) o un encaje de $M$ en $N$ (escribiremos $M \subset N)$. \endproclaim %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%% Las primeras respuestas generales a estos dos problemas fueron dadas por {\smc Whitney} y {\smc Wu}: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%% \proclaim{Teorema} (Whitney) [W] Toda variedad $M$ ($\dim\,M=n$) puede ser inmersa en $\Bbb R^{2n-1}$ ($M\subseteq\Bbb R^{2n-1}$) y encajada en $\Bbb R^{2n}$ ($M\subset\Bbb R^{2n}$). \endproclaim %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%% \proclaim{Teorema}(Wu) [WT] Dos encajes cualesquiera de $M^n$ en $\Bbb R^{2n+1}$ son i\-s\'o\-to\-pos. \endproclaim %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%% \noindent El problema de la inmersi\'on y encaje de variedades puede considerarse como un problema global y su soluci\'on es topol\'ogica o gem\'etrica. Las soluciones deben ser resultados que garanticen condiciones para que la inmersi\'on o el encaje existan. \smallskip El problema de las involuciones (inmersiones) y encajes de $(M,g)\hookrightarrow\Bbb R^m$ se estudia en general planteando sistemas de ecuaciones que dependen del atlas escogido. Por lo tanto, mientras que la involuci\'on de variedades generales es un problema esencialmente topol\'ogico, la involuci\'on de espacios de Riemann es un problema geom\'etrico. \smallskip Cuando se habla de la esfera, se piensa de manera natural en su inmersi\'on o encaje en alg\'un espacio de dimensi\'on mayor; por ejemplo, en el espacio tridimensional euclidiano. En cambio, el plano euclidiano se considera generalmente como un todo y no como una involuci\'on o encaje en otro espacio mayor. Los dos ejemplos anteriores corresponden esencialmente a una misma variedad $M$ dotada de dos m\'etricas diferentes: $(M, g_1) = S^2$ y $(M, g_2) = \Bbb R^2 = E^2$. La esfera $S^2$ puede realizarse o, m\'as precisamente, encajarse en $\Bbb R^3$ o en cualquier espacio euclideo de dimensi\'on mayor, mientras que $E^2$ lo hace en cualquiera de dimensi\'on $\ge 2$. \vskip0.7cm %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%% \head 7. Espacios de Riemann de clase {\itg k} \endhead %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%% \noindent Llamaremos {\it espacio de Riemann de clase} $k$ a cualquier espacio de Riemann $(M^n, g)$ que pueda encajarse en el espacio euclideano $\Bbb R^{n+k}$. Aqu\'\i \ \ surgen dos tipos de problemas: \roster \item"a)" Determinar, para un $k$ espec\'\i fico, qu\'e condiciones debe satisfacer $g$ para que $(M^n,g)$ sea de clase $k$. \item"b)" Determinar a qu\'e clase pertenece un espacio de Riemann $(M^n,g)$ dado. \endroster \vskip0.5cm %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%% \flushpar {\bf 7.1}\quad {\ss Espacios de Riemann de clase $k=1$.} \smallskip \flushpar Sea $V_n$ un espacio de Riemann de dimensi\'on $n$ con forma cuadr\'atica fundamental positivamente definida $$ ds^2\ =\ g_{\alpha\beta}dx^{\alpha}dx^{\beta}, $$ donde las $(x^i)$ son las coordenadas del espacio considerado y $g_{\alpha\beta}$ las del tensor m\'etrico. \smallskip Una condici\'on necesaria y suficiente para que $V_n$ sea de clase 1 es que exista un tensor sim\'etrico de valencia $2$, $\Omega_{\alpha\beta}$, asociado a la segunda forma fundamental, tal que $$ R_{\alpha\beta,\gamma\delta}\ =\ \Omega_{\alpha\gamma}\Omega_{\beta\delta}\ -\ \Omega_{\alpha\delta}\Omega_{\beta\gamma}\quad \text{ (ecuaci\'on de Gauss)} \eqlabel{1} %11 $$ y que $$ \Omega_{\alpha\beta, \gamma}\ =\ \Omega_{\alpha\gamma, \beta}\quad \text{ (ecuaci\'on de Codazzi).} \eqlabel{2} %12 $$ {\smc Rosenson} [R], apoy\'andose en trabajos de {\smc Thomas} [T] y {\smc Weise} [We], obtiene, a partir de \eqref{1} y \eqref{2}, unos invariantes, $p_s$, llamados invariantes fundamentales de una hipersuperficie del espacio euclideano $(E_{n+1}, G)$, los cuales son promedios de las componentes del tensor de curvatura de Riemann y del tensor m\'etrico. En coordenadas ortonormales, si $G_{ij}=\delta_{ij}$ y $\Omega_{\alpha\delta}=0$ para $\alpha\ne\beta$, estos invariantes se expresan en la forma $$ \align p_1 &=\ -\sum_{\gamma=1}^n\Omega_{\gamma\gamma} \\ p_2 &=\ \sum_{\gamma<\delta}\Omega_{\gamma\gamma}\Omega_{\delta\delta}\\ p_3 &=\ -\sum_{\gamma<\delta<\epsilon}\Omega_{\gamma\gamma} \Omega_{\delta\delta}\Omega_{\epsilon\epsilon} \\ &\vdots \\ p_n &=\ (-1)^n\Omega_{11}\cdots \Omega_{nn}. \endalign $$ Observamos que en este caso los $\Omega_{ii}$ calculados en cualquier punto $p$ son n\'umeros reales que expresan las curvaturas normales principales del espacio $V_n$. \smallskip {\smc Rosenson} demuestra adem\'as que cualquier otro invariante conjunto de la primera y segunda forma fundamentales se puede expresar en t\'erminos de los $p_s$. \smallskip Los invariantes $p_{s}$ fueron obtenidos recursivamente al analizar \eqref{1}, \eqref{2}, $$ \align ^{(k)}U_{\alpha}^{\delta}\ &=\ \Omega_{\alpha}^{\lambda} \left(^{(k-1)}U_{\lambda}^{\delta}\,-\,\frac{^{(k-1)}U_1}{k-1} \delta_\lambda^\delta\right)\qquad\qquad k=\overline{2,n} \\ ^{(1)}U_{\alpha}^{\delta}\ &=\ \Omega_{\alpha}^{\delta}; \hskip1cm \ ^{(1)}U_1\ =\ -p_1 . \endalign $$ y permiten establecer diferentes condiciones para que $(M^n,g)$ sea de clase $1$. Por ejemplo, \smallskip si $(M^4, g)$ satisface $$ R_\alpha^\gamma\,^{(4)}U_\gamma^\alpha\,-\,\frac12R^{(4)}U_1\,+\, R_{\alpha\beta}^{\lambda\mu}\left(R_\lambda^\alpha\,-\, \frac R2\delta_\lambda^\alpha\right) \left(R_\mu^\beta\,-\,\frac R2\delta_\mu^\beta\right)\ >\ 0 $$ y si $^{(4)}U_\alpha^\delta\ne 0$, entonces $$ \align &4p_3^2R_{\alpha\beta}^{\gamma\delta}\ = \\ &\left(R_{\alpha\lambda\mu}^\gamma R^{\lambda\mu}\,-\, ^{(4)}U_\alpha^\gamma\,-\,\frac12 RR_\alpha^\gamma\right) \left(R_{\beta\gamma\sigma}^\delta R^{\gamma\sigma}\,-\, ^{(4)}U_\beta^\delta\,-\,\frac12 RR_\beta^\delta\right)\ - \\ &\left(R_{\alpha\lambda\mu}^\delta R^{\lambda\mu}\,-\, ^{(4)}U_\alpha^\delta\,-\,\frac12 RR_\alpha^\delta\right) \left(R_{\beta\gamma\sigma}^\gamma R^{\gamma\sigma}\,-\, ^{(4)}U_\beta^\gamma\,-\,\frac12 R_1R_\beta^\gamma\right) , \endalign $$ donde $$ p_3^2\ =\ \frac16 R_\alpha^\gamma\,^{(4)}U_\gamma^\alpha\,-\, \frac1{12}R_1\,^{(4)}U_1\,+\,\frac16 R_{\alpha\beta}^{\lambda\mu} \left(R_\lambda^\alpha\,-\,\frac R2\delta_\lambda^\alpha\right) \left(R_\mu^\beta\,-\,\frac R2\delta_\mu^\beta\right). $$ Estas f\'ormulas expresan condiciones necesarias y suficientes para que $(M^4, g)$ sea de clase $1$. En otro resultado, {\smc Rosenson} expresa en forma expl\'\i cita la segunda forma fundamental: $$ 2p_3\Omega_\alpha^\delta\ =\ \frac16 R_{\alpha\lambda\mu}^\delta R^{\lambda\mu}\,-\,\frac12 RR_\alpha^\delta. $$ Todos los invariantes encontrados por {\smc Rosenson}, as\'\i \, como las condiciones dadas por \'el para que un espacio de Riemann sea de clase $1$, se basan en el supuesto de que la segunda forma fundamental es conocida. \smallskip Si el espacio de Riemann es conformemente plano, es decir, si $g=f^{-2}\dot g$, donde $f\in C^3$ y $\dot g$ es la m\'etrica del espacio euclideo $E^n$, entonces las condiciones exigidas para que sea de clase $1$ se simplifican. {\smc Lancaster} [L] encuentra cu\'al debe ser la estructura del tensor m\'etrico $g$ en este caso, conocido como el de las hipersuperficies conformemente planas en $\Bbb R^{n+1}$. {\smc Lancaster} reduce el problema de determinar la m\'etrica, al an\'alisis de un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de segundo orden. Obtiene resultados muy interesantes para el caso $n=3$. Mencionaremos s\'olo algunos de ellos. \smallskip Bajo el supuesto de que la segunda forma fundamental es un tensor diagonal en el sistema euclideo de coordenadas escogido, es decir, en el cual el elemento lineal se expresa como $$ ds^2\ =\ e^{2\sigma}\sum(dx^i)^2 $$ con $\sigma=\sigma(x^i)$, $i=\overline{1,3}$ y $\sigma\in C^\omega$, y haciendo algunos cambios para simplificar la notaci\'on, las ecuaciones de Gauss se transforman en $$ \beta_{hh}\beta_{ii}\ =\ e^{-\sigma}\bigl(f''_h + f''_i \bigr)\;-\;A, \qquad\qquad h\ne i \eqlabel{6} $$ donde $$ e^{-\sigma}\ =\ \sum_{m=1}^3 f_m , \eqlabel{5} $$ $f_k=f_k(x^k)$, $\beta_{ii}=e^{-2\sigma}\Omega_{ii}$ y $A=\sum_1^3 f'_m\,^2$. A su vez, la ecuaci\'on de Codazzi toma la forma $$ \partial_k\beta_{ii}\ =\ \partial_k\sigma\bigl(\beta_{kk}\;-\;\beta_{ii} \bigr),\qquad\qquad i\ne k \; . \eqlabel{7} $$ Resolviendo \eqref{7} y teniendo en cuenta \eqref{5}, se obtiene que $$ \beta_{11}\ =\ Fe^{-\sigma} $$ donde $F=F(x^1)$, y si $F(x^1)\equiv 0$ se obtiene una primera soluci\'on $$ e^{-\sigma}\ =\ \sum_1^3\;ax^i\,^2\,+\,b_ix^i\,+\,c_i, $$ en la cual $4a(c_1+c_2+c_3)=b_1^2+b_2^2+b_3^2$ y $\beta_{11}=\beta_{22}=\beta_{33}=0$. \smallskip En general, {\smc Lancaster} obtiene que si $C_3$ es un espacio conformemente eu\-cli\-dia\-no de di\-men\-si\'on $3$, $C_3$ es de clase $1$ con segunda forma fundamental diagonal si y s\'olo si la primera forma fundamental est\'a dada por \roster \item"$i)$" $$ ds^2\ =\ \frac{\sum_1^3(dx^i)^2}{\bigl[f(x^1)\,+\,\sum(ax^i\,^2\,+\,b_ix^i \,+\,c_i)\bigr]^2} $$ donde $f\in C^\omega$, $f\ne\frac1{4a}(b_2^2+b_3^2)-(c_2+c_3)$, o por \item"$ii)$" $$ ds^2\ =\ \frac{\sum_1^3(dx^i)^2}{\bigl[\sum c_i \cosh \omega_ix^i\bigr]^2} $$ donde $c_1^2\omega_1^2 = c_2^2\omega_2^2\,+\,c_3^2\omega_3^2$ y $\frac1{\omega_1^2} = \frac1{\omega_2^2}\,+\,\frac1{\omega_3^2} \; . $ \endroster Cuando $n\ge 4$, establece una expresi\'on para el tensor m\'etrico de $C_n$ de la forma $$ ds^2\ =\ u^{-2}\sum_1^n(dx^i)^2, $$ donde $u(x_1, ..., x_n)$ es una funci\'on positiva arbitraria de clase $C^3$. \smallskip Suponiendo que la segunda forma fundamental en un sistema ortonormal de coordenadas tiene como matriz $(\Omega_{ij}) = (b_{ij})=b\delta_{ij}+b_ib_j$, encuentra dos tipos distintos de soluciones para $u$: $$ u\ =\ \sum\, ax^i\,^2\,+\,b_ix^i\,+\,c_i\,+\,g(x^1,...,x^n), $$ donde \roster \item"$i)$" $g=\sqrt{(a_1+b_1x^1)\hdots(a_n+b_nx^n)}$ \item"$ii)$" $g=G(a_1x_1+\hdots+a_nx_n)$. \endroster Encuentra tambi\'en las expresiones $$ \align b^2\ &=\ u^{-4}[2Bu-A] \\ A\ &=\ \sum_1^n(\partial_mu)^2 \\ bb_i^2\ &=\ u^{-3}[\partial_{ii}^2u-B] \endalign $$ donde $B$ es una funci\'on $C^3$ arbitraria, que relaciona a $u$ con la segunda forma fundamental. \smallskip %{\smc Gonz\'alez} [Go], en su tesis de maestr\'\i a, estudi\'o la %inmersi\'on local de $\Bbb R^4$ como una hipersuperficie y %encontr\'o una identidad que posteriormente {\smc L\'opez} [Lo] generaliza %a $n$ arbitrario. Los resultados de {\smc L\'opez} y {\smc Gonz\'alez} no difieren %sustancialmente de los mencionados arriba. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%% \vskip0.5cm \flushpar {\bf 7.2}\quad {\ss Espacios de Riemann de clase 2.} \smallskip \noindent Encontrar condiciones similares para espacios de Riemann de clase mayor que uno es mucho m\'as dif\'\i cil. Aunque se ha trabajado mucho, existen a\'un pro\-ble\-mas sin resolver. Se han intentado diversos procedimientos para encajar un espacio en otro sin necesidad de resolver las ecuaciones de Gauss-Codazzi. Aqu\'\i \, daremos un ejemplo de encaje de una m\'etrica conocida de antemano, evitando resolver las ecuaciones de Gauss-Codazzi. Aunque este ejemplo no sugiere ning\'un m\'etodo, sirve para ilustrar la recursividad a la que se debe recurrir para manejar este tipo de problemas. \vskip0.7cm \example{Ejemplo 4} {\ss La m\'etrica de P\'erez}. Sea $\Bbb R^6$ dotado de un sistema de coordenadas $(z^\alpha)$ en el cual el tensor m\'etrico tiene como matriz a $$ (G_{\alpha\beta}) = \pmatrix 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &-1/2 \\ 0 & -1 & 0 & 0 &-1/2 & 0 \\ \endpmatrix. $$ Consideremos el cambio de coordenadas $$ \matrix \format \l \\ z^1 = x^1 + x^4 C(x^1, x^2, x^3, x^4) \\ z^{\sigma} = x^{\sigma}, \qquad {\text {para}}\qquad (\sigma = 2, 3, 4) \\ z^5 = C(x^1, x^2, x^3, x^4) \\ z^6 = (x^4)^2 \; . \endmatrix \eqlabel{cc} $$ El elemento lineal de $\Bbb R^6$ est\'a dado por $$ ds^2 = 2 dz^1dz^4 - d(z^2)^2 - d(z^3)^2 - dz^5 dz^6. $$ Haciendo el cambio de coordenadas propuesto en \eqref{cc}, obtenemos que $$ \align ds^2 &= 2(dx^1 + C(x^1, x^2, x^3, x^4) dx^4 + x^4(c_1dx^1 + c_2 dx^2 + c_3 dx^3 + c_4 dx^4))dx^4 - \\ &- (dx^2)^2 - (dx^3)^2 - (c_1dx^1 + c_2 dx^2 + c_3 dx^3 + c_4 dx^4)2x^4 = \\ &= 2 dx^1 dx^4 - (dx^2)^2 - (dx^3)^2 + 2C(x^1, x^2, x^3, x^4)(dx^4)^2, \endalign $$ as\'\i \, que el tensor m\'etrico del espacio inmerso (segunda forma fundamental) tiene como matriz $$ (g_{ij}) = \pmatrix 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 2C(x^1, x^2, x^3, x^4) \\ \endpmatrix \; . \eqlabel{perez} $$ Cuando $C = C(x^2, x^3, x^4)$, es decir, cuando no depende de $x^1$, se obtiene que $$ R_{ij} = 0 \Longrightarrow \partial _{22} C + \partial _{33} C = 0 \; . \eqlabel{17} $$ La m\'etrica $g_{ij}$ \eqref{perez} con la restricci\'on \eqref{17} se conoce como la m\'etrica de P\'erez. Tal m\'etrica describe un campo de ondas gravitacionales planas. \endexample %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%% % La metrica de KERR %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%% \vskip0.7cm \head 8. La m\'etrica de Kerr \endhead \flushpar La m\'etrica de Kerr est\'a dada por $$ ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 - dt^2 + \frac {2mr^3}{r^4 + a^2 z^2}( k )^2 \eqnum %4.1 $$ donde $r$ satisface $$ ( {r^2 + a^2} )rk = r^2 ({xdx + ydy} ) + ar ({xdy - ydx} ) + ( {r^2 + a^2})( {zdz - rdt} ) $$ y $$ r^4 - ( {R^2 - a^2})r^2 - a^2 z^2 = 0; $$ $$ R^2=x^2 + y^2 + z^2. $$ Esta forma fundamental se obtuvo haciendo una transformaci\'on a un sistema de coordenadas asint\'oticamente planas de la m\'etrica $$ ds^{2}=( {r^2+a^2\cos^2 \theta })( {d\theta ^2+\sen^2 \theta d\phi ^2})+2( {du+a\sen^2 \theta d\phi } ) \eqnum %4.2 $$ $$ \times ({dr+a\sen^2 \theta d\phi } )-({1-{{2mr} \over {r^2+a^2\cos^2 \theta }}}) \times ( {du+a\sen^2 \theta d\phi } )^2 $$ donde $m,a \in \Bbb R$. Tal transformaci\'on es $$ ({r-ia} )e^{i\theta }\sen \theta =x+iy \,\,\,\, ; \,\,\,\, r \cos\theta =z \,\,\,\, ; \,\,\,\, u=t+r \; . \eqnum %4.3 $$ En este sistema de coordenadas la matriz del tensor m\'etrico $g_{ij}$ es $$ \pmatrix \format \c\quad & \c\quad & \c\quad & \c \\ 0 & 0 & {a\sen^2 \theta } & 1 \\ 0 &{r^2+a^2\cos^2\theta } & 0 & 0 \\ {a\sen^2 \theta } & 0 & {( {r^2+a^2})\sen^2 \theta + {{2mra^2\sen^2 \theta } \over{r^2+a^2\cos^2 \theta }}} & {{{2mra\sen^2 \theta} \over {r^2+a^2\cos^2 \theta}}} \\ 1 & 0 & {{{2mra\sen^2 \theta} \over {r^2+a^2\cos^2 \theta}}} & {{{2mr} \over{r^2+a^2\cos^2 \theta }}-1} \\ \endpmatrix . %\eqnum %4.4 $$ La m\'etrica de Kerr en las coordenadas de Boyer-Lindquist [MTW] $$ x_1 = r \,\,\,\, ; \,\,\,\, x_2 = \theta \,\,\,\, ; \,\,\,\, x_3 = \phi \,\,\,\,\, ; \,\,\,\, x_4 = t $$ toma la forma $$ g_{11} = \frac{r^2 + a^2 \cos^2 \theta}{a^2 - 2 m r + r^2}; $$ $$ g_{21} = 0 \,\,\, ; \,\,\,\, g_{31} = 0 \,\,\, ; \,\,\,\, g_{41} = 0 \,\,\, ; \,\,\,\, g_{22} = r^2 + a^2 \cos^2 \theta \,\,\, ; \,\,\,\, g_{32} = 0 \,\,\, ; \,\,\,\, g_{42} = 0 \,\,\, ; \,\,\,\, $$ $$ g_{33} = \frac{\sen^2\theta (a^4 + 2 a^2 r^2 + r^4 - a^2 (a^2 - 2 mr + r^2) \sen^2\theta)}{r^2 + a^2 \cos^2\theta}; $$ $$ g_{43} = \frac{-2 mar \sen^2\theta}{r^2 + a^2 \cos^2\theta}; $$ $$ g_{44} = - \frac{a^2 - 2 mr + r^2 - a^2 \sen^2\theta}{r^2 + a^2 \cos^2\theta}. $$ En este caso el tensor de Ricci es nulo y, por lo tanto, la curvatura escalar es cero \footnote{C\'alculos hechos utilizando \it{Mathematica } {\text y} \it{MathTensor.}}: $R = 0$. Esto muestra que la m\'etrica de Kerr es plana y Ricci-plana, pero, tambi\'en, que no es conformemente plana, pues en este sistema de coordenadas existe al menos una componente no nula \footnote{\it{MathTensor}}:$C_{3434}$ %\bigskip \bigskip Otra m\'etrica con las mismas caracter\'\i sticas geom\'etricas que la de Kerr es la de Schwarzschild, cuyo tensor m\'etrico en coordenadas de Boyer-Lindquist es $$ g_{ij}= \pmatrix \format \c\quad & \c\quad & \c\quad & \c\quad \\ (\frac {(1 - (2 G m))}{r})^{-1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sen^2 \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac { -(1 - (2 G m))}{ r } \endpmatrix \; . $$ La m\'etrica de Schwarzschild es el caso particular $a=0$ de la m\'etrica de Kerr. F\'\i sicamente, el campo de Kerr es el campo gravitacional de una estrella en rotaci\'on con momento angular $a$. El de Schwarzschild, el de una que no rota. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % encaje del Campo de Kerr %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vskip0.7cm \head 9. Encaje del espacio--tiempo de Kerr \endhead \flushpar Mostraremos que el problema de encajar espacios de Riemann $V_n$ en espacios planos $E_m$ $(m>n)$ conduce a la soluci\'on de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de Pfaff con condiciones algebraicas sobre sus coeficientes. \smallskip Supongase que deseamos encajar el espacio-tiempo axialmente sim\'etrico de Kerr en un espacio pseudoeuclideo de dimensi\'on nueve, utilizando un m\'etodo de encaje local isom\'etrico. \flushpar En general, para encajar un espacio $V_n$ en un espacio euclidiano $E_m$ se debe tener en cuenta que \roster \item"$i)$" El problema de encaje $V_n\hookrightarrow E_m$ requiere \itemitem{a)} dado $V_n$ con $ds^2=g_{ij}(x)dx^idx^j$, definir la dimensi\'on de $E_m$ en el cual $V_n$ se pueda considerar como una superficie, \itemitem{b)} encontrar las funciones $y^{\alpha}(x)$ que definan el encaje. \itemitem{} \item"$ii)$" Las ecuaciones fundamentales de un encaje localmente isom\'etrico \linebreak $V_n\hookrightarrow E_m$ se obtienen al igualar las dos formas m\'etricas de los respectivos espacios $$ ds_E^2\ =\ G_{\alpha\beta}dy^{\alpha} dy^\beta\ =\ g_{ij}(x)dx^idx^j \ =\ ds^2_V \eqlabel{1A} %1 $$ donde $G_{\alpha\beta}=\delta_{ij}(\epsilon_1,...,\epsilon_m)$, $\alpha,\beta,\gamma=\overline{1,m}$ e $i,j,k=\overline{1,n}$, as\'\i \, que $$ g_{ij}(x)\ =\ G_{\alpha\beta}\frac{\partial y^{\alpha}}{\partial x^i}\frac{\partial y^\beta}{\partial x^j}\ =\ G_{\alpha\beta} y^{\alpha}_{i} y^{\beta}_{j}. \eqlabel{2A} %2 \; $$ \endroster \flushpar De lo anterior se deduce que el estudio del encaje $V_n\hookrightarrow E_m$ se reduce al estudio de $\frac{n(n+1)}2$ ecuaciones diferenciales no lineales. Cualquier sistema de $m$ soluciones reales independientes $y^{\alpha}(x)$ cons\-ti\-tu\-ye un sistema de funciones de encaje. \smallskip Es conocido (cf. [F]) que cualquier $V_n$ puede ser local e isom\'etricamente encajado en $E_m$, $m=\frac{n(n+1)}2$. Sin embargo, puede suceder que $V_n$ se pueda encajar en un $E_m$ de menor dimensi\'on. Si el menor n\'umero de dimensi\'on de $E_m$ en el cual se puede encajar $V_n$ es $m=n+k$, $V_n$ es de clase $k$. Sobre los espacios de clase $k$, con $k>2$, es poco lo que se conoce, como lo hemos mencionado. Esto se debe a que las ecuaciones de Gauss-Codazzi y sus condiciones de integrabilidad son tan complejas que encontrar sus soluciones es casi imposible (cf. [C]). {\smc Kuziev} [Ku] ha demostrado que la clase de encaje del campo de Kerr es $k\ge 3$. \smallskip Veamos c\'omo plantear en general las ecuaciones que definen las funciones de encaje para una m\'etrica dada. Trabajaremos con sistemas b\'asicos ortonormales no holon\'omicos. Consideraremos un espacio $V_n$ con signatura $$ V_n:\ ds_V^2\ =\ g_{ij}(x)dx^idx^j\ =\ \epsilon_k[\omega^k(d)]^2, \qquad\qquad\epsilon_k=\underline{+}1\eqnum %3 $$ donde $\omega^k(d)$ son 1-formas diferenciales independientes (m\'as espec\'\i ficamente, $\omega^i(d)$\newline $= A_s^i dx^s$) el cual se puede encajar en un espacio euclidiano $E_m$ con signatura $$ E_m:\ ds_E^2\ =\ G_{\alpha\beta}(x)dy^{\alpha} dy^\beta\ =\ \epsilon_{\alpha}(dy_\alpha)^2,\qquad\qquad \epsilon_{\alpha}=\underline{+}1. \eqnum %26 $$ La ecuaci\'on \eqref{1A} toma la forma $$ \epsilon_k[\omega^k(d)]^2\ =\ \epsilon_{\alpha}(dy^{\alpha})^2 \; . \eqlabel{5A} %27 $$ Escogiendo una base en $V_n$ podemos obtener expresiones para $dy^{\alpha}(x)$: $$ dy^{\alpha}\ =\ A_k^{\alpha}(x)\omega^k(d), \eqlabel{pfaff}%28 $$ donde $(A)_{m \times n}$ tiene rango $n$, y de \eqref{5A} podemos concluir que $$ \align \epsilon_{\alpha} A_k^{\alpha} A_l^{\alpha}\ &=\ \delta_{kl}\epsilon_k \\ \epsilon_{\alpha}\bigl(A_k^{\alpha}(x)\bigr)^2\ &=\ \epsilon_k, %\eqnum \endalign %\eqnum $$ de lo cual $$ \epsilon_{\alpha} A_i^{\alpha} A_j^{\alpha}\ =\ 0\qquad\qquad(i\ne j). \eqlabel{cond} %%%%%%%%%%%%%%%%"$\ast\ast$" $$ Por lo tanto, el n\'umero de funciones $A_k^{\alpha}$ que definen el encaje es $$ s\ =\ m.n\,-\,\frac{n(n+1)}2. $$ As\'\i \, pues, para hallar las funciones de encaje de un espacio de Riemann $(V_n, g)$ en un espacio euclidiano $E_m$ se debe resolver el sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de Pfaff \eqref{pfaff} con condiciones sobre los coeficientes dadas por \eqref{cond}, donde $A$ es la matriz del cambio de coordenadas de cartesiano a no holon\'omico. Esta matriz se puede obtener mediante un sistema de coordenadas poliesf\'erico asociado a un \'arbol apropiado. La dimensi\'on $m$ y el \'arbol se escogen en principio arbitrariamente, y la idea del m\'etodo es la de encontrar un \'arbol asociado a las coordenadas poliesf\'ericas en el cual este sistema tenga soluciones simples. $$\beginpicture \setcoordinatesystem units <0.5cm, 0.5cm> \setplotarea x from -8 to 8, y from -11 to 4 \put {$x_0(+)$} at -1.5 4 \put {$\phi_1$} at -3 2 \put {$\phi_3$} at 3 2 \put {$\phi_2$} at 1 2 \put {$x_{01}(+)$} at -5.5 0 \put {$x_{02}(+)$} at -1.5 0 \put {$x_{03}(-)$} at 2.5 0 \put {$\phi_{11}$} at -5.5 -2 \put {$\phi_{21}$} at -2 -2 \put {$\phi_{31}$} at 2 -2 \put {$\phi_{32}$} at 6 -2 \put {$\phi_{321}$} at 7 -6 \put {$x_{011(+)}$} at -6.5 -4 \put {$x_{021}(+)$} at -3.5 -4 \put {$x_{031(-)}$} at 0.5 -4 \put {$x_{032(-)}$} at 4.5 -4 \put {$x_{0321(+)}$} at 4.5 -8 \put {\it Figura 2} at 0 -10 \setlinear \plot 0 4 -4 0 -5 -4 / \setlinear \plot 0 4 0 0 -2 -4 / \setlinear \plot 0 4 4 0 / \setlinear \plot 0 4 4 0 2 -4 / \setlinear \plot 4 0 6 -4 6 -8 / \endpicture $$ Mostraremos como ejemplo del m\'etodo descrito el encaje dado por {\smc Kuziev} a la m\'etrica de Kerr. \smallskip Para $n = 4$, \; $s = 4m - 10$. Usaremos las coordenadas poliesf\'ericas de {\smc Vilinkin} [Vi], tratadas en par\'agrafos anteriores de este art\'\i culo, y el algoritmo para construir sistemas de coordenadas a partir de este tipo de funciones. {\smc Kuziev} [Ku] encaja la m\'etrica de Kerr en $E_9$. Para hacer este encaje de un espacio de dimensi\'on 4 en otro de dimensi\'on 9, tenemos que escoger 4 puntos en la esfera de radio 1 en $E_9$. Cada punto sobre la esfera forma ocho \'angulos con los ejes coordenados en $E_9$. Por lo tanto cada punto, el cual se representa con nueve coordenadas rectangulares, se puede expresar tambi\'en mediante ocho \'angulos, correspondientes a las coordenadas poliesf\'ericas. \smallskip Para cada punto consideraremos $E_9$ con la siguiente signatura $$(-,-,-,+,-,-,-,-,+)$$ y el \'arbol asociado de la figura 2: $$ (+)x_{0321}, (+)x_{011}, (+)x_{021}, (-)x_{031}, (-)x_{032}, (+)x_{01},(+)x_{02}, (-)x_{03}, (+)x_{0}. $$ Utilizaremos la siguiente notaci\'on $$ x^1 = x_{0321}; x^2 = x_{011}; x^3 = x_{021}; x^4 = x_{031}; x^5 = x_{032}, $$ $$ x^6 = x_{01}; x^7 = x_{02}; x^8 = x_{03}; x^9 = x_{0} $$ y para los \'angulos $$ \phi_1 = \varphi_{321}; \phi_2 = \varphi_{11}; \phi_3 = \varphi_{21}; \phi_4 = \varphi_{31}; \phi_5 = \varphi_{32}; \phi_6 = \varphi_{1}; \phi_7 = \varphi_{2}; \phi_8 = \varphi_{3}. $$ La matriz de transformaci\'on de coordenadas rectangulares a coordenadas poliesf\'eri-\newline cas $A_{9 \times 4}$, $A_i^{\alpha}(x)$, $i = 1,\ldots,4$, tiene entonces como primera columna a $A_1^{\alpha}(x)$ cuyas componentes son (de acuerdo con el orden establecido): %\bmatrix $$\align x^3 &= \cosh\phi_8 \, \sen\phi_7 \, \sen\phi_3 \\ x^7 &= \cosh\phi_8 \, \sen\phi_7 \, \cos\phi_3 \\ x^4 &= \senh\phi_8 \, \cos\phi_5 \, \sen\phi_4 \\ x^8 &= \senh\phi_8 \, \cos\phi_5 \, \cos\phi_4 \\ x^2 &= \cosh\phi_8 \, \cos\phi_7 \, \sen\phi_6 \, \sen\phi_2 \\ x^6 &= \cosh\phi_8 \, \cos\phi_7 \, \sen\phi_6 \, \cos\phi_2 \\ x^9 &= \cosh\phi_8 \, \cos\phi_7 \, \cos\phi_6 \\ x^5 &= \senh\phi_8 \, \sen\phi_5 \, \cosh\phi_1 \\ x^1 &= \senh\phi_8 \, \sen\phi_5 \, \senh\phi_1 \\ \endalign $$ %\endbmatrix y $A_2^{\alpha}$, $A_3^{\alpha}$, $A_4^{\alpha}$ se escogen de forma an\'aloga, teniendo en cuenta que las coordenadas $A_2^{\alpha}(x)$ se escogen en t\'erminos de $\phi_9,...,\phi_{16}$, las $A_3^{\alpha}(x)$, en t\'erminos de $\phi_{17},...,\phi_{24}$, y las $A_4^{\alpha}(x)$, en t\'erminos de $\phi_{25},...,\phi_{32}$. \flushpar Para la m\'etrica de Kerr en coordenadas de Boyer-Lindquist, $$ \align ds^2\ &=\ \left(1\,-\,\frac{2mr}{p^2}\right)dt^2\ -\ \frac{p^2}{\Delta} dr^2\ -\ \left(r^2\,+\,a^2\,+\,\frac{2mr}{p^2} a^2\sen^2\theta\right) \\ &\quad \sen^2\theta d\phi^2\ -\ p^2d\theta^2\ +\ \frac{4mr}{p^2}a \sen^2\theta d\phi dt, %\eqnum \endalign $$ y en un sistema de coordenadas no holon\'omico, $$ ds^2 = \ -(\omega^1)^2\,-\,(\omega^2)^2\,-\,(\omega^3)^2\,+\,(\omega^4)^2 \eqnum $$ donde $$ \align \omega^1\ &=\ \frac p{\sqrt \Delta} dr \\ \omega^2\ &=\ pd\theta \\ \omega^3\ &=\ \left(\frac\Delta{1-\frac{2mr}{p^2}}\right)^{\frac12} \sen\theta d\phi \\ \omega^4\ &=\ \Biggl[\left(1\,-\,\frac{2mr}{p^2}\right)^{\frac12} dt \ + \ \frac{2mr}{p^2}\left(1\,-\,\frac{2mr}{p^2}\right)^{-\frac12} a\sen^2\theta d\phi\Biggr] \endalign $$ con $\Delta = r^2+a^2-2mr$, $p^2=r^2+a^2\cos^2\theta$. \flushpar Resolviendo entonces \eqref{pfaff}, teniendo en cuenta \eqref{cond}, se encuentra que: $$\align y^1\ &=\ \left(\frac{2mar}{p^2}\right)^{\frac12}\,\sen\theta\,\sen(\phi-t) \\ y^2\ &=\ \left(\frac{2mar}{p^2}\right)^{\frac12}\,\sen\theta\,\cos(\phi-t) \\ y^3\ &=\ \left[1\,-\,\frac{2mr}{p^2}(1-a\sen^2\theta)\right]^{\frac12}\sen t \\ y^4\ &=\ \left[1\,-\,\frac{2mr}{p^2}(1-a\sen^2\theta)\right]^{\frac12}\cos t \\ y^5\ &=\ \left[r^2\,+\,a^2\,-\,\frac{2mar}{p^2}(1-a\sen^2\theta)\right]^ {\frac12} \sen\theta \sen\phi \\ y^6\ &=\ \left[r^2\,+\,a^2\,-\,\frac{2mar}{p^2}(1-a\sen^2\theta)\right]^ {\frac12} \sen\theta \cos\phi \\ y^7\ &=\ \left[r^2\,+\,a^2\,-\,\frac{2mar}{p^2}(1-a\sen^2\theta)\right]^ {\frac12}\cos\theta \\ y^8\ &=\ \Phi_1(r,\theta) \\ y^9\ &=\ \Phi_2(r,\theta) \endalign $$ donde $\Phi_1$, $\Phi_2$, conjuntamente con las dem\'as funciones $y^1,...,y^7$, definen el encaje. {\smc Kuziev} no da expl\'\i citamente estas funciones, pero demuestra su exis\-tencia. Para la m\'etrica de {\smc Schwarzschild}, el caso $a=0$ de la m\'etrica de Kerr, {\smc Kuziev} muestra que el encaje dado por {\smc Kazner} [Ka] se obtiene de esta serie de $y^{\alpha}$ haciendo $a = 0$. En este caso $$\align %\alignat 2 y^1\ &=\ 0 \\ y^2\ &=\ 0 \\ y^3\ &=\ \sqrt{1-\frac{2m}r} \; \sen t \\ y^4\ &=\sqrt{1-\frac{2m}r} \; \cos t \\ y^5\ &=\ r\sen\theta\sen\phi \\ y^6\ &=\ r\sen\theta\cos\phi \\ y^7\ &=\ r\cos\theta \\ y^8\ &=\ 0 \\ \endalign$$ y $$ y^9\ = f(r), \quad\text{donde}\; f \; \text{satisface} \qquad \left(\frac{df}{dr}\right)^2\ =\ \frac{2mr^3-m^2}{r^3(r-2m)} \; . %\endalignat $$ as\'\i \, que la m\'etrica de Schwarzschild puede ser encajada en $\Bbb R^6$. Si $m=0$, se obtiene la m\'etrica de Lorentz. \vskip0.7cm \proclaim{Nota} Todos los c\'alculos fueron hechos utilizando los paquetes com\-pu\-ta\-cio\-na\-les \it{Mathematica} {\text y} \it{MathTensor}. \endproclaim %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % BIBLIOGRAFIA %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vskip1cm \Refs\nofrills{Bibliograf\'\i a} \begingroup \aboveheadskip=\abovedisplayskip \bigskip \widestnumber\key{WT} %%%%%% \ref\key G \by {\smc S. Gitler} \paper Inmersion and Embedding of Manifolds \jour Proc. Symp. Pure Math. %\publ Madison \publaddrWisc.; Providence, RI. \pages 87--96 \vol 22 \yr 1970 \endref \ref\key W \by {\smc H. Whitney} \paper The self intersections of smooth n-manifolds in 2n-space \jour Ann. of Math. \vol (2) 45 \pages 220--246 \yr 1944 \endref \ref\key WT \by {\smc Wen Ts\"un Wu} \paper On the isotopy of $C^r$-manifolds of dimension n in euclidean (2n+1)\-s\-pace \jour Sci Record 2 \pages 271--275 \yr 1958 \endref \ref\key T \by {\smc T.Y. Thomas} \paper Riemann space of class one and their characterization \jour Acta Math. \vol 67 \pages 169--211 \yr 1936 \endref \ref\key CE \by {\smc E. Cartan} \paper La deformation de hypersurfaces dans l'espace conforme re\`el a $n\ge 5$ dimensions \jour Bull. Soc. Math. France \vol 45 \pages 57--121 \yr 1917 \endref \ref\key We \by {\smc K.H. Weise} \paper Beitr\"age zum Klassenproblem der quadratischen Differentialformen \jour \linebreak Math. Ann. \pages 522--570 \yr 1935 \endref \ref\key L1 \by {\smc G.M. Lancaster} \paper Canonical metrics for certain conformally Euclidean spaces of dimension three and codimension one \jour Duke Math. Journal \vol 40 \pages 1--8 \yr 1973 \endref \ref\key L2 \bysame %Lancaster, G.M. \paper A characterization of certain conformally euclidean spaces of class one \jour Prog. AMS \vol 21 \pages 623--628 \yr 1969 \endref \ref\key L3 \bysame %Lancaster, G.M. \paper Conformally flat hypersurface in $\Bbb R^{n+1}$ \jour Tensor N.S. Journal \vol 35 \pages 293\---296 \yr 1981 \endref %\ref\key V \by {\smc A. Voss} \paper Zur Theorie der Transformation %quadratisher Differential ... \jour Math. Ann. \vol 16 \pages %129--179 \yr 1880 %\endref %\ref\key F \by {\smc A. Friedman} %\paper No tiene nombre %\jour Math. Mech. \vol 10 \pages 625--649 \yr 1961 %\endref \ref\key C \by {\smc C.D. Collinson} \paper Embeddings of plane fronted waves and other space-time \jour \ \ Math.\-Phys. \vol 3 \pages 403--410 \yr 1968 \endref \ref\key Ku \by {\smc R.R. Kuziev} \paper Sobre la clase de encaje del Campo de Kerr \jour Selecciones sobre Gra\-vi\-ta\-ci\'on y Teor\'\i a de Relatividad %\publ Izda. KGU Kazan \vol 16 \paperinfo en ruso \yr 1979 \endref \ref\key Vi \by {\smc N.I. Vilinkin} \book Funciones especiales y teor\'\i a de Representaci\'on de Grupos \publ Nauka, Mosc\'u \bookinfo en ruso \yr 1965 \endref \ref\key BL \by {\smc R. Boyer \& R. Linquist} \paper Maximal analitical extension of the Kerr metric \jour Math. Phys. \vol 8 No 2 \pages 265 \yr 1967 \endref \ref\key Ka \by {\smc E. Kazner} \paper Finite representation of the solar gravitational field in flat space of six dimensions \jour American J. of Mathematics \vol 43 \pages 129 \yr 1921 \endref \ref\key LL \by {\smc L.D. Landau \& E.M. Lipzshitz} \book Teor\'\i a de Campos \publ Nauka , Mosc\'u \bookinfo en ruso \yr 1973 \endref \ref\key R1 \by {\smc I.A. Rosenson} \paper Sobre espacios de Riemann de clase 1 \jour Izvestia, Academia de Ciencias de la URSS, Serie Matem\'atica. %\publ Izda. KGU Kazan \vol 4 \paperinfo en ruso \yr 1940 \pages 181--192 \endref \ref\key R2 \bysame %Rosenson, I.A. \paper Sobre espacios de Riemann de clase I (Parte 2) \jour Izvestia, Academia de Ciencias de la URSS, Serie Matem\'atica. %\publ Izda. KGU Kazan \vol 5 \paperinfo en ruso \yr 1941 \pages 325--351 \endref \ref\key R3 \bysame %Rosenson, I.A. \paper Sobre espacios de Riemann de clase I (Parte 3) \jour Izvestia, Academia de Ciencias de la URSS, Serie Matem\'atica. %\publ Izda. KGU Kazan \vol 7 \paperinfo en ruso \yr 1943 \pages 253--284 \endref %\ref\key Go \by {\smc G. Gonz\'alez} \paper Tesis de Maestr\'\i a, %Departamento de F\'\i sica \publ ESFM - IPN, M\'exico \yr 1981 %\endref %\ref\key Lo \by {\smc J.L. L\'opez} \paper Reporte de Investigaci\'on, %Departamento de F\'\i sica \jour Bol. Dept. F\'\i sica \publ ESFM %- IPN, M\'exico \vol 99 \yr 1983 %\endref \endRefs \vskip0.5cm \endgroup % end special value of \aboveheadskip \centerline{\ss (Recibido en octubre de 1993, revisado en marzo de 1995)} \enddocument