Propiedades electrostáticas de ceros de polinomios ortogonales
Francisco Marcellán
Universidad Carlos III de Madrid
Resumen. . Considerando polinomios ortogonales respecto a una medida con parte absolutamente continua y un numero finito de puntos de masa, demostramos que si dicha medida satisface ciertas condiciones de integrabilidad los polinomios satisfacen una ecuacion diferencial de segundo orden cuyos ceros vienen caracterizados como la posicion de equilibrio de n cargas unitarias sometidas a un campo externo definido por la medida. Presentaremos ejemplos clásicos (Jacobi, Laguerre, Hermite) estudiados por Stieltjes y Hilbert, entre otros, asi como ejemplos semiclásicos (Koornwinder, Krall y cribados)y otros relacionados con el potencial de Ginzburg-Landau y Jacobi generalizados.

 

Polinomios ortogonales y problemas de dinámica no lineal
Francisco Marcellán
Universidad Carlos III de Madrid
Polinomios ortogonales relativos a medidas dependientes de un parametro aparecen en el estudio de problemas inversos en dinamica no lineal, donde se deduce el par de Lax para la ecuacion molecular de Toda. La conexión con problemas isoespectrales es bien conocida. En esta conferencia presentaremos resultados relativos a la dinamica no lineal de parámetros de recurrencia para pesos relacionados con medidas de Freud obtenidos recientemente por A. I. Aptekarev, A. Branquinho, A. Magnus y F. Marcellan a la par que se establecen conexiones con las ecuaciones de Painleve.

 

Dominios de John, cuasicírculos y la clase de Nehari
Martín Chuaqui
Universidad Católica de Chile
Resumen.  Definimos la clase de Nehari usando una condici\'on suficiente para univalencia muy conocida. Hacemos una breve historia de los resultados más relevantes acerca de esta clase, en los cuales se estudian sus funciones extremales y las posibles extensiones homeomorfas y cuasiconformes. Definimos las nociones de dominio de John y dominio linealmente conexo, nociones independientes que en forma conjunta caracterizan a un cuasicírculo. Mostramos el sorprendente resultado que, para funciones en la clase de Nehari, un dominio de John es automáticamente linealmente conexo.

 
 
 

La derivada schwarziana y funciones univalentes
Martín Chuaqui
Universidad Católica de Chile
Resumen.   En esta charla damos la definición de derivada schwarziana, mostrando sus propiedades de invariancia, regla de la cadena y relación con las transformaciones de Moebius. Vemos además la conexión clásica con la ecuación lineal de orden dos, lo que permite caracterizar la univalencia en términos de la multiplicidad de ceros de las soluciones de dicha ecuación. Presentamos finalmente varias condiciones suficientes y una necesaria para la univalencia en el disco unitario.

 

Caracterización de transformaciones conformes hiperbólicamente convexas
Diego Mejía
Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín
Resumen.  Una transformación del disco unidad en si mismo es una transformación hiperbólicamente convexa si todo segmento de recta hiperbólica que une dos puntos cualesquiera de la imagen esta contenido en la imagen. En esta charla mostraremos varias desigualdades que caracterizan este tipo de transformaciones. Tales desigualdades son análogas a desigualdades bien conocidas sobre transformaciones conformes euclidianamente convexas.

 

Aspectos específicos de la derivada y de la schwarziana en transformaciones conformes hiperbólicamente convexas
Diego Mejía
Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín
Resumen.  En esta charla abordaremos temas relacionados con el módulo de la derivada y la derivada schwarziana de transformaciones hiperbólicamente convexas. Específicamente, mostraremos una desigualdad de la que se deduce el orden exacto de crecimiento de la transformación y daremos una cota uniforme para la norma schwrziana, la cual  mide el grado de desviación de la transformación de ser una transformación de Möbius. 

 

Consequences of negative curvature in complex analysis 
David Minda
Universidad de Cincinnati
Abstract.Many results in the classical theory of complex analysis are best understood through the unifying concept of metrics of negative curvature, especially the hyperbolic metric, rather than the familiar Euclidean metric of the complex plane. The first use of hyperbolic geometry in complex analysis goes back to Poincare in the late 1800's. The viewpoint treated in the talks begins with Pick's invariant formulation of Schwarz' Lemma at the beginning of the 1900's. This result asserts that holomorphic self-maps of the unit disk are weak contractions relative to the hyperbolic metric. The full differential geometric underpinning of the invariant Schwarz-Pick Lemma was established by Ahlfors in the 1930's.

        The first talk will begin with a discussion hyperbolic geometry on the unit disk and the invariant Schwarz-Pick Lemma. This naturally leads to the problem of determining those regions in the complex plane that support a strictly negatively curved metric. Then it is shown that qualitative versions of many results in classical complex analysis follow from the existence of a strictly negatively curved metric on the complex plane punctured at two points.  Examples include qualitative versions of the Koebe one-quarter theorem and Landau's Theorem as well as the Little Picard Theorem and Montel's normality criterion.

        The second talk will focus on recent work establishing sharpened versions of the invariant Schwarz-Pick Lemma. As time permits, applications of these ideas to rigidity results for holomorphic self-maps of regions and to random iteration of families of self-maps of a region will be given.

Título por confirmar
Oriol Mora
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Resumen.